Метод прогнозирования срока службы алюминиевых электролизеров

В.А Козлов, С.Н.Ахмедов, Б.С.Громов, Р.В Пак

Прогнозирование срока службы электролизеров имеет большое значение в практике работы заводов по производству алюминия, так как позволяет оценить эффективность предпринимаемых усовершенствований в конструкции электролизера и технологии его эксплуатации, а также делать более обоснованный выбор величины объема капитального ремонта на планируемый период. Для прогнозирования срока службы электролизеров можно применять нормальное, логарифмическое, биноминальное распределения. Однако на практике наибольшее распространение получило применение трехпараметрического распределения Вейбулла [1,2,3]. Преимущество применения функции распределения трёх параметров Вэйбулла состоит в получении качественной возможности прогнозирования выхода из строя, средних сроков службы, медианы отказов на базе ограниченного числа ранних выходов из строя электролизеров данной группы. Другое существенное преимущество распределения Вейбулла состоит в его гибкости, т.е. возможности моделировать практически любые функции риска.

Нарастающая функция распределения Вейбулла выражается как:

(1)

где F(t) - часть электролизеров, выходящая из строя за время t

Плотность функции распределения выражается формулой:

(2)

Влияние масштабного множителя α аналогично влиянию стандартного отклонения нормального распределения, т.е. с увеличением α происходит выравнивание распределения. Коэффициент β влияет на асимметрию распределения. Когда величина этого коэффициента находится в пределах 3-4, что чаще всего наблюдается при аппроксимации данных по сроку службы электролизеров, распределение плотности функции близко к симметричному. При уменьшении коэффициента наблюдается перекос распределения в сторону ранних поломок, при увеличении коэффициента имеется перекос к электролизерам с длительным сроком службы. Параметр положения Θ позволяет сдвинуть распределение от нулевого значения на некоторую величину, т.е. при этом подразумевается, что спустя некоторое время после ввода в эксплуатацию вероятность выхода из строя практически равна нулю.

Пример функции распределения, плотности распределения, для распределения Вейбулла с масштабным множителем 1600, коэффициентом формы 2,5 и параметром положения 40 показан на риc.1.

Функция надежности, отражающая количество остающихся в работе электролизеров через время t вычисляется по формуле:

(3)

Математическое ожидание (среднее значение срока службы) распределения Вейбулла можно вычислить по формуле:

(4)

где:

(5)

Г(х) - гамма функция, значение которой табулировано. Для упрощения расчетов значения гамма-функции в диапазоне значений от 2 до 6 можно аппроксимировать с точностью R²=0,9998 полиномом второй степени следующего вида:

(6)

Величина моды (при условии β>1) подсчитывается из уравнения:

(7)

Величина медианы определяется из условия равенства функции распределения 0,5 и рассчитывается в соответствии с уравнением:

(8)

Как уже отмечалось выше, в диапазоне значений коэффициента β между 3 и 5 функция распределения приближена к симметричному виду, т.е. величины математического ожидания близки к значению моды и практически совпадают со значением медианы. Разница в значении срока службы и медианы в указанном диапазоне β не превышает 1%. Отсюда следует, что время с момента пуска до момента, при наступлении которого будет отключено 50% электролизеров исследуемой группы, практически равно ожидаемому среднему сроку службы всех электролизеров.

Оценку параметров распределения с удовлетворительной точностью можно производить при выходе из строя не менее 10% электролизеров исследуемой группы /2/. При большом объеме выборок наилучшие результаты показывает применение метода максимального правдоподобия. Однако данный метод требует применения сложного математического аппарата и не всегда обеспечивает точные результаты при малом объеме выборки (n<15). Для практики алюминиевого завода более простым и достаточно точным методом определения параметров распределения может служить графический метод. После преобразования и логарифмирования уравнения функции надежности можно получить следующее выражение:

(9)

Если на графике по оси абсцисс отложить значение ln(t-Θ), по оси ординат - ln(ln(1/R(t))) и аппроксимировать полученную зависимость прямой линией, то угол наклона будет соответствовать значению β, а значение α можно будет подсчитать, разделив значение свободного члена уравнения на β и взяв экспоненту полученного значения.

Наибольшую трудность вызывает определение значения коэффициента положения Θ. Определить его величину можно итерационным методом, последовательно наращивая величину ? от нуля на некоторое значение и рассчитывая аппроксимационные прямые зависимости ln(ln1/R) от ln(t- ?). Для каждой полученной прямой необходимо вычислить значение квадрата коэффициента корреляции Пирсона R2 и выбрать величину ?, при которой значение R2 проходит через максимум. На неправильно выбранную величину ? косвенно указывает слишком большая величина параметра формы ? (>6), что вызывает чрезмерный перекос в сторону ванн с малым сроком службы.

Проведение статистических расчетов срока службы требует постоянства условий эксплуатации анализируемой группы электролизеров во времени. Изменение технологических параметров в процессе эксплуатации исследуемой группы (увеличение силы тока, изменение состава электролита, условий питания ванн глиноземом и т.п.) может существенно изменить динамику выхода электролизеров из строя. Также необходим тщательный анализ выхода из строя первых электролизеров исследуемой группы. Механизм их разрушений может отличаться от такового для остальных ванн группы. Причиной раннего отключения могут быть брак по материалам футеровки, грубые нарушения технологии пуска и эксплуатации, и другие воздействия, которым не были подвержены остальные электролизеры группы. Поэтому данные о досрочном отключении подобных электролизеров следует исключить из анализа.

Ниже приведен пример расчета ожидаемого среднего срока службы группы из 75 электролизеров, после момента выхода из строя 17 штук или 23% от общего количества. Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.

Исходные данные для расчета ожидаемого срока службы

Из представленных данных для проведения дальнейших расчетов исключаем первую запись, т.к. срок службы первого отключенного электролизера несопоставимо меньше сроков отключения других электролизеров, и можно предположить, что механизм его выхода из строя существенно отличается от других электролизеров исследуемой группы. Последовательно изменяем значение коэффициента Θ и строим таблицу зависимости величины ln(ln1/R) от ln(t- Θ) (табл. 2). Находим для каждой зависимости методом наименьших квадратов коэффициенты аппроксимационной прямой и значение квадрата коэффициента корреляции Пирсона R².

Расчет параметров распределения

На основании полученных данных, исходя из условия максимума значения R², выбираем значение Θ = 150. Уравнение аппроксимационной кривой (рис.2):

y = 2,8148x - 20,691

Отсюда:

β = 2,8148

α = ехр (20,691/2,8148) = 1557

График полученной функции распределения с фактическими точками и рассчитанной кривой представлен на рис. 3.

Подставляя коэффициенты в уравнения 4-8, получаем, что значение моды для полученного распределения равно 1483 (сут.), значение медианы - 1517 (сут.), средний срок службы - 1537 (сут.).

Как показывает опыт авторов, точность прогноза срока службы электролизеров при выходе из строя около 20% от общего количества пущенных в анализируемой группе составляет не более 15%.

Все вышеприведенные расчеты реализованы ООО "АЛКОРУС ИНЖИНИРИНГ" в виде расчетной программы обработки данных по отключению электролизеров. Использование программы на алюминиевых заводах позволит выполнить прогнозы по сроку службы электролизеров различных типов и модификаций, определяя эффективные решения в конструкции электролизеров и технологии их эксплуатации, и рассчитать обоснованные объемы капитального ремонта электролизеров.

Библиографический список

Реферат

Рассмотрено использование трехпараметрического распределения Вейбулла для использования с целью прогнозирования среднего срока службы электролизеров для получения алюминия. Приведены расчетные формулы для расчета прогнозируемого срока службы, моды и медианы отключений. Показано хорошее согласование результатов расчета и фактических данных по выходу электролизеров из строя. Использование метода расчета на компьютерной программе позволит выполнить прогнозы по сроку службы электролизеров различных типов и модификаций, определяя эффективные решения в конструкции электролизеров и технологии их эксплуатации, и рассчитать обоснованные объемы капитального ремонта электролизеров.